VECTORES

Estándar: relaciona cantidades escalares y vectoriales con algunas magnitudes físicas. Realiza operaciones con vectores.

OBJETIVOS

•	Hacer distinción clara entre magnitudes escalares y vectoriales.
•	Hallar la resultante gráfica y analíticamente de cualquier número de vectores.
•	Estar seguro de que las cantidades vectoriales no se operan lo mismo que las escalares.
•	Realizar ejercicios de descomposición de vectores en componentes rectangulares.
•	Estar en capacidad de resolver los problemas de tipo numérico.

Vídeo Sobre Vectores

Subido por Teknociencia

La Física debe explicar no solo “por qué y cuánto”, sin también “dónde y cómo”. Los físicos y los matemáticos diseñaron un modo de describir las cantidades que tienen una dirección, un sentido y un módulo. Las leyes que tratan con fenómenos de distancias y velocidades son leyes universales. Y al describir cantidades tales como desplazamiento y velocidad, se expresa universalmente una ley de la Física de una manera que es la misma para todos los sistemas de coordenadas. Objetivos pedagógicos: Sumar y restar gráficamente vectores manejando la “regla del paralelogramo”. Indicar las componentes de un vector y utilizarlas analíticamente para la suma y la resta. Interpretar el producto escalar de dos vectores. Describir el producto vectorial de dos vectores.

CONTENIDO

Vectores: Una visión digna de tener en cuenta en el estudio de la Física es la que considera a las cantidades físicas divididas en dos grupos, a saber: escalares y vectoriales.

Muchas cantidades físicas quedan perfectamente determinadas cuando de ellas se conocen su valor numérico o módulo y su correspondiente unidad. Así, por ejemplo, nada se debe agregar a las expresiones: 5 Kilómetros, 8 segundos, 15 pesos, 30 centímetro cuadrados, etc. Para quedar enterados de lo que se trata, este genero de cantidades recibe el nombre de escalares, y para su manejo son aplicables las reglas ordinarias de la aritmética. Por ejemplo, un solo objeto de 2 kilogramos de masa es equivalente a dos objetos, cada uno de masa un kilogramo.

Magnitudes escalares es aquella de la que una cantidad queda perfectamente determinada por medio de su valor numérico y su correspondiente unidad.

Algunas cantidades físicas no quedan suficientemente caracterizadas cuando de ellas se conoce su módulo o valor numérico y su respectiva unidad de medida, sino que exige agregar conceptos de dirección y sentido; tal ocurre, por ejemplo, con magnitudes como: desplazamiento, velocidad, fuerza, etc.

Magnitudes vectoriales es aquella de la que una cierta cantidad queda suficientemente determinada, cuando además de su valor numérico o módulo, y de su unidad, se deben agregar conceptos de dirección y sentido.

ACTIVIDAD

Clasifica los siguientes conceptos físicos en magnitudes escalares y vectoriales.

Nota: si no te funciona el anterior link para el simulador utiliza este. Clic aquí

Autor:educaplus

Pag. Web: Magnitudes escalares y vectoriales


	Vectores	Elementos de Un Vector

Suma y sustracción de vectores.

Podemos sumar vectores de dos maneras: matemáticamente(Analíticamente) o gráficamente.

Sumar vectores de forma gráfica

Consideremos el siguiente problema: una persona se desplaza 8 metros hacia el norte, hasta alcanzar el punto B y, continuando su viaje, se desplaza 6 metros hacia el este, hasta detenerse en el punto C. ¿Cuál ha sido su desplazamiento definitivo o resultante? Su desplazamiento resultante o suma vectorial queda definido por el vector AC, cuyo origen coincide con el vector AB y su extremo con el del vector BC, luego:

Desplazamiento AB + desplazamiento BC = Vector AC

El anterior es un procedimiento general que se puede aplicar a cualquier par de vectores y su construcción puede resumirse así: para hallar la suma de dos vectores basta desplazar uno de ellos a continuación del otro(El Final del Primero es el inicio del Segundo), el vector suma queda representado por aquel cuyo origen coincide con el del primero y su extremo con el final del segundo. Como lo que en verdad se hace es construir un triángulo, el procedimiento se conoce como método del triángulo.

EJEMPLO 1. RESUELTO POR EL MÉTODO GRÁFICO

Encuentra la suma del vector a con el vector b, es decir;

, teniendo en cuenta la siguiente figura.

Solución

Para resolver por el método gráfico la suma de los dos vectores se realiza lo siguiente:

1. Se coloca el vector a

2. Al final del vector a, se coloca el inicio del vector b

3. Luego, para saber cual es la suma del vector a con el vector b. Se pasa una flecha que inicia del principio del vector a hasta el final del vector b, donde encontramos nuestra respuesta de forma gráfica y esta de color rojo.

EJEMPLO 2. RESUELTO POR EL MÉTODO GRÁFICO

Encuentra la suma del vector a con el vector b y el vector c, es decir; también podemos sumar tres (3) vectores al mismo tiempo

, teniendo en cuenta la ubicación de los vectores libres.

Solución

Para resolver por el método gráfico la suma de los tres vectores, se realiza lo mismo que cuando sumamos dos (2) vectores

1. Se coloca el vector a

2. Al final del vector a, se coloca el inicio del vector b

3. Al final del vector b, se coloca el inicio del vector c

4. para finalizar la suma de los tres (3) vectores. Se traza una flecha que inicia del principio del vector a hasta el final del vector c, donde encontramos nuestra respuesta de forma gráfica y la encontramos de color rojo.

NOTA: para sumar cuatro (4), cinco (5) vectores de la forma gráfica, se realiza de la misma forma presentada anteriormente.

SUMA DE VECTORES DE FORMA ANALITICA

Antes de realizar la suma de vectores por medio de la forma analitica, expliquemos las componentes de un vector

COMPONENTES DE UN VECTOR

Aquí vamos a ver que un vector también puede ser representado por un par de números. Ilustremos en el plano cartesiano los vectores de un sistema de coordenadas. Es decir, un punto origen, y dos ejes perpendiculares. A todo punto P haremos corresponder un par de números que son sus coordenadas (x,y); se escribe P(x,y).

Ejemplo 3

Un vector v queda identificado por los dos siguientes puntos P(2,1) y Q(4,4).Representemos el vector v en un sistema de coordenadas cartesianas, donde tiene origen en P y extremo en Q. ¿Cuáles son las componentes del vector v.

Solución

El vector v queda representado en el plano cartesiano como se ilustra en la siguiente figura.

Para encontrar las componentes del vector v, procedemos como se muestra más adelante.

	el vector v es igual al vector PQ
= (X_Q - X_p , Y_Q - Y_p)	El vector v es igual a la resta de las componentes de los punto P y Q.
= (4 - 2 , 4 - 1)	El vector v es igual a la resta de las componentes numérica de los punto P(2,1) y Q(4,4).
= ( 2 , 3 )	El vector v es igual a las componentes numérica ( 2 , 3).

NOTA:

No hay que confundir las componentes del vector con las coordenadas de un punto, el contexto en el que nos estemos manejando nos aclarará dicha situación.
No es lo mismo decir que estamos en el punto (2,3) a que nos movimos 2 pasos a la derecha del eje horizontal y luego 3 pasos hacia arriba del eje vertical.

Ejercicio 1

Dados los seis vectores

calcula:

Las componentes del vector AB
Las coordenadas del punto D
Las coordenadas del punto E
Las componentes del vector GH
Las coordenadas del punto I
Las coordenadas del punto M

ACTIVIDAD 1

Regla del triángulo para sumar vectores. Componentes expresadas como (x, y). Observación: Saca un vector del tarro y comienza a mirar y/o observar

. Cuando coloques el vector en el plano cartesiano, al doble click sobre el vector y detalla los valores que aparecen en el cuadro que mencionamos anteriormente. Puedes sacar la cantidad de vectores o flechas que desees para tu aprendizaje. Ensaya los demás botones del simulador. ¿Puedes deducir en qué consiste la regla del triángulo?

Autor: PhET

Pag. Web: La adición de vectores

ACTIVIDAD 2

Con esta actividad se busca ampliar los aprendizajes adquiridos en clase.
En esta actividad debes buscar en sitio web: Educaplus y posteriormente colocar en su buscador la palabra vectores. Encontraras varios simuladores, en los cuales debes analizar sus funciones y que utilidades tienen para nuestro aprendizaje


Elementos de un Vector

ELEMENTOS DE UN VECTOR

Los elementos principales de un Vector Son Tres(3): Módulo, Sentido y Dirección. Aúnque al principio hablamos de Cuatro(4) elementos(Módulo, unidad, Sentido y Dirección), en este caso vamos a integrar el Módulo y la Unidad.

Magnitud o módulo del vector: Es la longitud o medida de un vector.(desde el Inicio al Final del Vector) y Siempre es Positivo
Dirección de un vector: Por convenio, determinaremos la dirección de un vector, con el ángulo que forma con el eje de las X del sistema de coordenadas, o con la dirección respecto a los puntos cardinales cuando se trata de un plano geográfico.Se llama dirección de un vector, a la dirección de la recta que lo contiene.
Sentido de un Vector: Dos vectores que tienen la misma dirección pueden tener igual o diferente sentido, dependiendo de los signos positivos (+) o negativo (-) que se le asigne a cada vector.

Igualdad de Vectores

Dos vectores se consideran iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Vector opuesto

Dos vectores se consideran opuestos, cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido opuesto.

Vector libre

El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra y no tiene una ubicación definida; puede trasladarse a cualquier lugar del plano sin modificar ni su módulo, ni su orientación (dirección y sentido). Por esta razón se dice que los vectores son libres.

Aparte de los elementos que caracterizan a un vector, como son Módulo, unidad, Sentido y Dirección), debemos tener en cuenta como se escribe o denota a un vector.

Símbolo de un vector

Los vectores se expresan con una letra minúscula o con dos letras mayúsculas, su origen y su extremo respectivos. Por ejemplo, el vector que tiene origen en el punto P y extremo en el punto Q, se escribe

. No olvidemos poner una flecha encima de las dos letras para indicar que se trata de un vector.


Definición		Suma de vectores

La población A de nuestra provincia de Buenos Aires está situada 160 km al Este y 120 km al Norte, con respecto a la ciudad M. La población B se sitúa 90 km al Este y 120 km al Sur, también con respecto a M.

a - Adoptar un sistema de referencia y determinar el vector posición de las tres localidades.

b - Una avioneta sale de A a las 07:00 h, y llega a B a las 09:00 h. Determinar su vector desplazamiento.

a - A los vectores posición se les suele dar la denominación "r" que viene de radio. También, como a todas las denominaciones de los vectores, se les dibuja una flechita arriba. Yo no lo hice porque en htlm (el lenguaje que utilizan las páginas web) no hay tipos con flechita arriba disponibles y tendría que reemplazarlos a todos por imágenes. Tal vez lo haga algún día. A los vectores los representé en rojo. Elegí un sistema de referencia centrado en M con lo cual el vector posición r_M no tiene representación.

      r_A = 160 km î + 120 km ĵ
   r_B = 90 km î — 120 km ĵ
      r_M = 0 km î + 0 km ĵ

î y ĵ son vectores de módulo 1, se llaman vertores y tienen por objeto contagiar el carácter vectorial de un número y decir para dónde apunta. Suelen representarse con un sombrerito o una comita arriba (en lugar del punto típico de la i y la j). El vertor î tiene la misma dirección y sentido que el eje x, y el vertor ĵ que el eje y.

b - El vector desplazamiento, Δr_AB, es la resta vectorial entre los vectores posición posterior menos anterior (final menos inicial), r_B — r_A; para hallarlo hay que restar componente a componente. Fijate cómo es.

Δr_AB= r_B — r_A

Δr_AB = (90 km — 160 km ) î + ( —120 km — 120 km) ĵ

Δr_AB = —70 km î — 240 km ĵ

Lo representé en verde. Los vas a encontrar dos veces repetido. La de arriba es la operación geométrica: para restar dos vectores alcanza con unir ambos extremos. El vector resta siempre tiene origen en el primero y extremo en el segundo (origen en el sustraendo y extremo en el minuendo).

Si represento al vector diferencia obtenido analíticamente en el mismo SR que los vectores posición obtengo exactamente el mismo vector, pero centrado en el origen del SR. Miralo bien, ahí lo tenés.

DESAFIO: Rehacer íntegramente el problema con un SR orientado de la misma manera que el que usé yo, pero cuyo origen se encuentra a 100 km al norte y a 200 km al oeste de M.

Autor: Ricardo Cabrera

Pag. Web: http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/No_me_salen/CINEMATICA/c1_01.html

Autor:educaplus

Pag. Web: Alcance y altura máxima